La conjetura de Vergne en las álgebras de Lie filiformes de dimensión n
Expositor: Sonia Vera (CIEM-FaMAF)
Resumen:
Michèle Vergne estudió la
geometría del espacio de productos de Lie nilpotentes e introduce una
nueva clase de álgebras nilpotentes, las álgebras de Lie filiformes, aquellas de
nilindice máximo. Vergne muestra que un corchete de Lie filiforme
arbitrario es isomorfo un corchete de la forma m0 + y, donde m0(x0, xj) = xj+1 , j=1, 2, …, n-1, y y es un 2-cociclo asociado a la cohomología de Chevalley de m0 . Tal descripción se detallará en la primera parte de la charla.
Dentro de la variedad de álgebras de Lie un problema interesante,
es el de estudiar las deformaciones y degeneraciones que ocurren en esa
variedad. Uno de los problemas naturales en este contexto es el de determinar cuándo
un álgebra de Lie es rígida. Poco se sabe sobre la solución a este problema. Un
problema abierto desde el año 1970 es la siguiente conjetura la cual se le adjudica
a Michèle Vergne:
CONJETURA: No existen
álgebras de Lie nilpotentes rígidas en la variedad de todas las álgebras de Lie
de dimensión n.
Un corchete de Lie m es rígido si su órbita, bajo la acción natural de GL(n,
C), es un abierto Zariski, es decir, si todo corchete b en un entorno de m es isomorfo a
m.
Una familia de corchetes de Lie mt con t un número complejo es una deformación lineal de m, si mt = m + t f, donde f es un 2-cociclo de m y un álgebra de Lie.
La deformación mt de m es no trivial si para todo t pequeño, mt no es isomorfo a m,. En este caso m no es rígida.
En una segunda instancia de la charla mostraremos que la conjetura de M.
Vergne es cierta para las álgebras de Lie filiformes, para esto, construiremos
una deformación lineal particular y mostraremos que es no trivial en la
variedad de las álgebras de Lie, más aún en la variedad de las álgebras de
Lie filiformes.
Lugar: Aula 23, FaMAF
No hay comentarios:
Publicar un comentario